Калькулятор квадратных уравнений

Уведомление

Мы и выбранные партнеры используем файлы «cookie» или аналогичные технологии, указанные в политике в отношении файлов «cookie».
Вы можете дать согласие на использование таких технологий, прокручивая эту страницу, используя любую ссылку или кнопку за пределами этого уведомления или продолжая просматривать материалы иным способом.
Дополнительно о категориях собираемой личной информации и целях, в которых такая информация будет использоваться, см. в наших правилах обеспечения конфиденциальности персональных данных.
Продолжая пользоваться сайтом, вы соглашаетесь с использованием файлов cookie.

SmartCalculator.online

Калькулятор квадратных уравнений

Калькулятор вычислит любой тип квадратного уравнения, включая неполные квадратные уравнения, найдет действительные и комплексные корни, а также построит график и найдет точки пересечения параболы с осью x.
Тип уравнения
Укажите коэффициенты a, b, c квадратного уравнения ax² + bx + c = 0, где a≠0.
x² + x + = 0

Квадратное уравнение

ax² + bx + c = 0
где a, b, c — коэффициенты квадратного уравнения и a≠0

a — первый или старший коэффициент
b — второй или средний коэффициент
c — свободный член

Дискриминант квадратного уравнения D определяет количество корней и их тип: вещественные либо комплексно-сопряженные.
Дискриминант вычисляется по формуле:
D = b2-4ac


Если D = 0, уравнение имеет единственный корень.
x = b 2a

Например, уравнение
x2+2x+1 = 0
Значения коэффициентов
a = 1
b = 2
c = 1
Дискриминант
D = b2-4ac
D = 2 2 - 4  ·  1  ·  1 = 0
x = b 2a
x = 22 · 1 = -1
x = -1

График
y = x2+2 · x+1
Решением квадратного уравнения является пересечение параболы с осью x. Так как уравнение имеет один корень, то парабола на графике пересекает ось x только в одной точке.

Если D > 0 , уравнение имеет два различных корня.
x1 = - b - D 2 a
x2 = - b + D 2 a

Например, уравнение
2x2+5x+3 = 0
Значения коэффициентов
a = 2
b = 5
c = 3

Дискриминант
D = b2-4ac
D = 5 2 - 4  ·  2  ·  3 = 1 > 0
x1 = - 5 - 1 2  ·  2 = -32
x2 = - 5 + 1 2  ·  2 = -1
x1 = -32 = -1.5
x2 = -1

График
y = 2x2+5x+3
Решением квадратного уравнения является пересечение параболы с осью x. Так как уравнение имеет два корня, то парабола на графике пересекает ось x в двух точках.

Если D < 0 , уравнение имеет два комплексно-сопряжённых корня, выражающихся той же формулой, что и для положительного дискриминанта.
x1 = - b - D 2 a
x2 = - b + D 2 a

Например, уравнение
3x2-x+7 = 0
Значения коэффициентов
a = 3
b = -1
c = 7
Дискриминант
D = b2-4ac
D = -1 2 - 4  ·  3  ·  7 = -83 < 0
x1 = - b - D 2 a
x2 = - b + D 2 a
x1 = - -1 - -83 2  ·  3 = 16-83 · i6
x2 = - -1 + -83 2  ·  3 = 16+83 · i6

График
y = 3x2-x+7
Обратите внимание на параболу графика, она не пересекает ось x, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Неполные квадратные уравнения

Неполное квадратное уравнение характеризуется тем, что хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

Уравнение ax² + bx = 0
Разберем на примере уравнения 2x2+6x = 0
Значения коэффициентов
a = 2
b = 6
Неполное квадратное уравнение вида ax² + bx = 0, где b≠0 имеет два действительных корня:
x1 = 0 и x2 = ba
Решение
x1 = 0
x2 = 62 = -3

График
y = 2x2+6x

Уравнение ax² + c = 0
Разберем на примере уравнения x22-5 = 0
Значения коэффициентов
a = 12
c = -5
Неполное квадратное уравнение вида ax² + c = 0 и имеет два действительных корня в том случае, если c a < 0 и два комплексных корня если c a > 0 .
ca = -512 = -10
Решение
c a < 0 , уравнение имеет два различных корня:
x1 = - - c a
x2 = - c a
x1 = - - -5 12 = -10
x2 = - -5 12 = 10
x1 = -10 = -3.16227766016838
x2 = 10 = 3.16227766016838

График
y = x22-5

Другие калькуляторы