Калькулятор квадратных уравнений

Квадратное уравнение

ax² + bx + c = 0
где a, b, c — коэффициенты квадратного уравнения и a≠0

a — первый или старший коэффициент
b — второй или средний коэффициент
c — свободный член

Дискриминант квадратного уравнения D определяет количество корней и их тип: вещественные либо комплексно-сопряженные.
Дискриминант вычисляется по формуле:
$D$ = $b^2-4\mathrm{ac}$

---

Если ${\displaystyle D}$ = ${\displaystyle 0}$, уравнение имеет единственный корень.
${\displaystyle x}$ = ${\displaystyle -<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{2a}}}$

Например, уравнение
${\displaystyle x^2+\mathrm{<mn>2</mn>}x+\mathrm{<mn>1</mn>}}$ = ${\displaystyle 0}$
Значения коэффициентов
${\displaystyle a}$ = ${\displaystyle 1}$
${\displaystyle b}$ = ${\displaystyle 2}$
${\displaystyle c}$ = ${\displaystyle 1}$
Дискриминант
${\displaystyle D}$ = ${\displaystyle b^2-4\mathrm{ac}}$
${\displaystyle D}$ = ${\displaystyle {\mathrm{<mn>2</mn>}}^2-4\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}\mathrm{<mn>1</mn>}\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}\mathrm{<mn>1</mn>}}$ = ${\displaystyle 0}$
${\displaystyle x}$ = ${\displaystyle -<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{2a}}}$
${\displaystyle x}$ = ${\displaystyle -<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{<mn>2</mn>}}{2\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}\mathrm{<mn>1</mn>}}}$ = ${\displaystyle -1}$
${\displaystyle x}$ = ${\displaystyle -1}$

График
${\displaystyle y}$ = ${\displaystyle x^2+2\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}x+1}$

---

Если $D>0$, уравнение имеет два различных корня.
$x_1$ = ${\displaystyle {\displaystyle \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}}}$
$x_2$ = ${\displaystyle {\displaystyle \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}}}$

Например, уравнение
${\displaystyle \mathrm{<mn>2</mn>}{x}^2+\mathrm{<mn>5</mn>}x+\mathrm{<mn>3</mn>}}$ = ${\displaystyle 0}$
Значения коэффициентов
${\displaystyle a}$ = ${\displaystyle 2}$
${\displaystyle b}$ = ${\displaystyle 5}$
${\displaystyle c}$ = ${\displaystyle 3}$

Дискриминант
${\displaystyle D}$ = ${\displaystyle b^2-4\mathrm{ac}}$
${\displaystyle D}$ = ${\displaystyle {\mathrm{<mn>5</mn>}}^2-4\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}\mathrm{<mn>2</mn>}\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}\mathrm{<mn>3</mn>}}$ = ${\displaystyle \mathrm{1\; >\; 0}}$
$x_1$ = ${\displaystyle {\displaystyle \frac{-\mathrm{<mn>5</mn>}-\sqrt{\mathrm{<mn>1</mn>}}}{2\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}\mathrm{<mn>2</mn>}}}}$ = ${\displaystyle -\frac{3}{2}}$
$x_2$ = ${\displaystyle {\displaystyle \frac{-\mathrm{<mn>5</mn>}+\sqrt{\mathrm{<mn>1</mn>}}}{2\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}\mathrm{<mn>2</mn>}}}}$ = ${\displaystyle -1}$
$x_1$ = ${\displaystyle -\frac{3}{2}}$ = ${\displaystyle -1.5}$
$x_2$ = ${\displaystyle -1}$

График
${\displaystyle y}$ = ${\displaystyle \mathrm{<mn>2</mn>}{x}^2+\mathrm{<mn>5</mn>}x+\mathrm{<mn>3</mn>}}$

---

Если $D<0$, уравнение имеет два комплексно-сопряжённых корня, выражающихся той же формулой, что и для положительного дискриминанта.
$x_1$ = ${\displaystyle {\displaystyle \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}}}$
$x_2$ = ${\displaystyle {\displaystyle \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}}}$

Например, уравнение
${\displaystyle 3x^2-x+7}$ = ${\displaystyle 0}$
Значения коэффициентов
${\displaystyle a}$ = ${\displaystyle 3}$
${\displaystyle b}$ = ${\displaystyle -1}$
${\displaystyle c}$ = ${\displaystyle 7}$
Дискриминант
${\displaystyle D}$ = ${\displaystyle b^2-4\mathrm{ac}}$
${\displaystyle D}$ = = ${\displaystyle \mathrm{-83\; <\; 0}}$
$x_1$ = ${\displaystyle {\displaystyle \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}}}$
$x_2$ = ${\displaystyle {\displaystyle \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}}}$
$x_1$ = = ${\displaystyle \frac{1}{6}-\frac{\sqrt{83}\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}i}{6}}$
$x_2$ = = ${\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{\sqrt{83}\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}i}{6}}$

График
${\displaystyle y}$ = ${\displaystyle 3x^2-x+7}$

---

Неполные квадратные уравнения

Неполное квадратное уравнение характеризуется тем, что хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

Уравнение ax² + bx = 0
Разберем на примере уравнения ${\displaystyle \mathrm{<mn>2</mn>}{x}^2+\mathrm{<mn>6</mn>}x}$ = ${\displaystyle 0}$
Значения коэффициентов
${\displaystyle a}$ = ${\displaystyle 2}$
${\displaystyle b}$ = ${\displaystyle 6}$
Неполное квадратное уравнение вида ax² + bx = 0, где b≠0 имеет два действительных корня:
$x_1$ = ${\displaystyle 0}$ и $x_2$ = ${\displaystyle -<!--\; -\; -->\frac{b}{\mathrm{}a}}$
Решение
$x_1$ = ${\displaystyle 0}$
$x_2$ = ${\displaystyle -<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{<mn>6</mn>}}{\mathrm{}\mathrm{<mn>2</mn>}}}$ = ${\displaystyle -3}$

График
${\displaystyle y}$ = ${\displaystyle \mathrm{<mn>2</mn>}{x}^2+\mathrm{<mn>6</mn>}x}$

---

Уравнение ax² + c = 0
Разберем на примере уравнения ${\displaystyle \frac{x^2}{2}-5}$ = ${\displaystyle 0}$
Значения коэффициентов
${\displaystyle a}$ = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$
${\displaystyle c}$ = ${\displaystyle -5}$
Неполное квадратное уравнение вида ax² + c = 0 и имеет два действительных корня в том случае, если ${\displaystyle \frac{c}{a}<0}$ и два комплексных корня если ${\displaystyle \frac{c}{a}>0}$.
${\displaystyle \frac{c}{a}}$ = = ${\displaystyle -10}$
Решение
${\displaystyle \frac{c}{a}<0}$, уравнение имеет два различных корня:
$x_1$ = ${\displaystyle {\displaystyle -\sqrt{-\frac{c}{a}}}}$
$x_2$ = ${\displaystyle {\displaystyle \sqrt{-\frac{c}{a}}}}$
$x_1$ = = ${\displaystyle -\sqrt{10}}$
$x_2$ = = ${\displaystyle \sqrt{10}}$
$x_1$ = ${\displaystyle -\sqrt{10}}$ = ${\displaystyle -3.16227766016838}$
$x_2$ = ${\displaystyle \sqrt{10}}$ = ${\displaystyle 3.16227766016838}$

График
${\displaystyle y}$ = ${\displaystyle \frac{x^2}{2}-5}$