Калькулятор матриц

Операции над матрицами

Транспонирование матрицы

Матрица - это таблица чисел, расположенных в строках и столбцах.

Транспонирование матрицы - это операция, при которой строки и столбцы меняются местами. Другими словами, если у нас есть матрица A размером m x n (m строк и n столбцов), то транспонированная матрица A^T будет иметь размерность n x m (n строк и m столбцов), где элемент a_ij из оригинальной матрицы перемещается в позицию a_ji в транспонированной.

Формально определение может быть записано так: Пусть дана прямоугольная матрица А размерности m × n с элементами a_ij. Тогда её транспонированной называется прямоугольная матрица А^T размерности n × m, полученная из первой заменой i-й строки j-м столбцом:
$$(A^{T})_{ij} = a_{ji}$$

Например,

${\displaystyle A}$ = ${\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}1& 3& -6\\ 2& -7& -1\\ 4& 9& 5\end{array}\right]}$

${\displaystyle A^T}$ = ${\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 3& -7& 9\\ -6& -1& 5\end{array}\right]}$

Также можно представить процесс транспонирования как отражение всех элементов относительно главной диагонали (диагональ, которая начинается в левом верхнем углу и заканчивается правым нижним).

Определитель матрицы

Определитель матрицы - это число, которое можно вычислить для квадратной матрицы. Он используется во многих областях математики и науки, таких как линейная алгебра и теория вероятности.

Вычисления определителя:
1. Рассмотрим квадратную матрицу A размера n x n.
2. Найдем все миноры порядка 1.
3. Для каждого элемента a_ij найдем его дополнение A_ij: это минор порядка (n-1), который получается из исходной матрицы путем удаления i-й строки и j-го столбца.
4. Вычислим алгебраическое дополнение каждого элемента a_ij по формуле:
$$A_{ij} = (-1)^{i+j}(A_{ij})$$
5. Сложим все алгебраические дополнения для любой строки или любого столбца, чтобы найти значение определителя.

Формально определитель может быть записан следующим образом:
$$\det(A)=\sum_{j=1}^na_{ij}(-1)^{i+j}\det(A_{ij})$$ Где
a_ij - элемент на пересечении i-й строки и j-го столбца,
det(A_ij) - минор порядка (n-1), полученный удалением i-й строки и j-го столбца из матрицы А.

${\displaystyle A}$ = ${\displaystyle \left[\begin{array}{cccc}2& -5& 1& 9\\ 3& \frac{1}{2}& -7& 9\\ 0& 3& 8& -2\\ 1& 5& -5& 4\end{array}\right]}$
Найдем 4 дополнительных минора путем вычеркивания первой строки и j-го столбца.

Исходя из приведенной выше формулы, распишем сумму:
det A = (-1)¹ ⋅ a₁₁ ⋅ m₁₁ + (-1)² ⋅ a₁₂ ⋅ m₁₂ + (-1)³ ⋅ a₁₃ ⋅ m₁₃ + (-1)⁴ ⋅ a₁₄ ⋅ m₁₄= (-1)¹ ⋅ 2 ⋅ (-330) + (-1)² ⋅ (-5) ⋅ 8 + (-1)³ ⋅ 1 ⋅ 38 + (-1)⁴ ⋅ 9 ⋅ (-140) = 678

Таким образом, чтобы найти определитель матрицы A, нужно последовательно вычислить алгебраическое дополнение каждого элемента первой строки (или любой другой строки или столбца) и сложить все результаты.

Обратная матрица

Обратная матрица - это такая квадратная матрица B, что произведение исходной матрицы A на обратную матрицу B дает единичную матрицу.

Вычисление обратной матрицы:
1. Рассмотрим квадратную матрицу A размера n x n.
2. Найдем определитель этой матрицы $det(A)$. Если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует.
3. Для каждого элемента a_ij найдем его алгебраическое дополнение Aa_ij: это минор порядка (n-1), который получается из исходной матрицы путем удаления i-й строки и j-го столбца, умноженный на (-1)^(i+j)
4. Транспонируем получившуюся при помощи алгебраических дополнений "алгебраическую" (также называемую "присоединенную") матрицу А^T , где каждый элемент расположен в строке j и столбике i
5. Получаем обратную к $$A = A^{-1}$$ путём деления транспонированной "алгебраической" матрциы на определитель: $$B=\frac{1}{\det(A)}A^T$$

Формально можно записать так: $$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)$$ Где $\mathrm{adj}(A)$ - это матрица алгебраических дополнений, транспонированная для получения правильного порядка строк и столбцов.

Заметьте, что вычисление обратной матрицы возможно только для квадратных невырожденных (то есть с ненулевым определителем) матриц.

Ранг матрицы

Ранг матрицы - это количество линейно независимых строк или столбцов в данной матрице. Иными словами, ранг матрицы определяется как максимальное число линейно независимых строк или столбцов.

Линейная зависимость означает, что одна строка (или столбец) может быть выражена через комбинацию других строк (столбцов). Например, если имеются две строки a и b, то эти строки будут линейно зависимыми, если одна из них может быть представлена как комбинация другой: a = k*b. Если все строки (столбцы) являются линейно независимыми, то ранг матрицы равен количеству строк (столбцов).

Нахождения ранга матрицы:
1. Привести исходную матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк (элементарные преобразования не меняют ранг матрицы). Это достигается путем последовательного выполнения следующих действий:
- Обнуление всех элементов первого столбца, расположенных под первым ненулевым элементом в этом же столбце.
- Перестановка строк таким образом, чтобы строки с ненулевыми элементами были расположены выше строк с нулевыми элементами.
2. Найти количество ненулевых строк в полученной ступенчатой матрице - это и будет рангом исходной матрицы.

Пример:
Исходная матрица:
${\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]}$
Приведение к ступенчатому виду:
${\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 0& 5& -6\\ 0& 0& -12\end{array}\right]}$
Получаем, что ранг данной матрицы равен 3.

Умножение матрицы на число

Умножение матрицы на число - это операция, при которой каждый элемент матрицы умножается на заданное число. Для выполнения этой операции нужно пройтись по всем элементам матрицы и умножить каждый из них на заданное число.

Алгоритм умножения матрицы A размера m x n на число k будет выглядеть следующим образом: B = k * A, где
A - исходная матрица
k - заданное число
Результатом является новая матрица B, в которую записываются произведения всех элементов из исходной матрицы на данное число.

Для получения конкретного значения ячейки результирующей матрицы B_ij, необходимо умножить соответствующий элемент из первоначальной A_ij на k:
B_ij = k * A_ij

Таким образом мы получаем новую матрицу B того же размера (m x n), где каждый элемент равен произведению соответствующего элемента в исходной матрице А_ij на значение числа k.

Например, если имеется следующая 2x2-матрица:
A = ${\displaystyle \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]}$
И нам нужно умножить каждый элемент на число k=5.
Тогда результатом будет:
B = ${\displaystyle \left[\begin{array}{cc}5& 10\\ 15& 20\end{array}\right]}$
Таким образом мы получаем новую матрицу B, в которой каждый элемент исходной матрицы умножен на заданное число k.

Возведение матрицы в степень

Возведение матрицы в степень - это операция, при которой исходная матрица умножается сама на себя n-раз. Для возведения матрицы A в целочисленную степень n необходимо выполнить следующее:

1. Проверить, является ли матрица квадратной (то есть имеет одинаковое количество строк и столбцов). Если нет, то операция возведения в степень невозможна.

2. Определить значение n: положительное для обычного возведения в степень или отрицательное для вычисления обратной матрицы.

3. Выполнить проверку на четность числа n:
a) если число четное, то можно применить метод быстрого возведения в степень;
b) если число нечетное, то можно разложить его на произведение двух множителей: первый множитель - четный порядок матрицы (n-1), а второй множитель равен 1.

4. Применяем соответствующий алгоритм для получения результата:

a) Метод простых повторений. Этот метод заключается в том, чтобы последовательно умножать исходную матрицу саму на себя нужное количество раз. Например:
${\displaystyle A}$ = ${\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]}$
${\displaystyle A^{\mathrm{<mn>2</mn>}}}$ = ${\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}30& 36& 42\\ 66& 81& 96\\ 102& 126& 150\end{array}\right]}$
b) Метод бинарного возведения. Этот метод позволяет быстрее и эффективнее возводить матрицу в степень, используя бинарное представление числа n. Для этого каждый раз делим показатель на 2, а саму матрицу умножаем саму на себя (в квадрате). Если остаток от деления равен 1, то умножаем результат на исходную матрицу.

5. Полученный результат является новой матрицей размера nxn, которая есть результат возведения исходной матрицы A в степень n.

Возведение матрицы в степень широко используются при решении систем линейных уравнений, при моделировании физических процессов и технических задачах.

LU-разложение

LU-разложение - это представление квадратной матрицы A порядка n в виде произведения двух треугольных матриц L и U, где L - нижняя треугольная матрица с единичной диагональю (т.е. элементы на главной диагонали равны 1), а U - верхняя треугольная матрица. Таким образом, LU-разложение можно записать следующим образом: A = LU.

Одним из примеров использования LU-разложения в математике является решение системы линейных уравнений Ax=b, где A - квадратная матрица порядка n. Метод LU-разложения заключается в следующих шагах:

1. Найдём нижнюю треугольную матрицу L и верхнюю треугольную матрицу U такие, что A=LU.
2. Решим две системы линейных уравнений: Ly = b и Ux = y, используя методы прямой и обратной подстановки соответственно.
Тогда полученное решение x будет являться точным решением исходной системы Ax=b.

Другой пример использования LU-разложения связан с вычислением определителя матрицы А. Если мы знаем разложение LU для матрицы А (A=LU), то её определитель можно выразить через диагональные элементы верхне-треугольной матрицы U: det(A) = det(L) * det(U). Эта формула позволяет быстро вычислить значение определителя для больших квадратных матриц, поскольку разложение LU может быть найдено эффективно с помощью алгоритмов численного анализа.

Важно отметить, что LU-разложение не всегда возможно для любой матрицы. Однако, если матрица A удовлетворяет определённым условиям (например, является невырожденной), то её можно разложить на L и U матрицы.

Разложение Холецкого

Разложение Холецкого - это метод численного анализа, используемый в линейной алгебре для факторизации симметрической положительно определенной матрицы в произведение нижней и верхней треугольных матриц. Точнее говоря, разложение Холецкого представляет данную матрицу как произведение квадратной нижнетреугольной матрицы на её транспонированную верхнюю треугольную матрицу. Этот метод широко применяется в задачах решения систем линейных уравнений и определения обратных матриц.

Одним из примеров использования разложения Холецкого в математике является решение системы линейных уравнений с помощью этого метода.

Пусть дана система линейных уравнений Ax=b, где A - симметрическая положительно определенная матрица порядка n. Метод разложения Холецкого заключается в следующих шагах:
1. Найдём нижнюю треугольную матрицу L размерности n x n, такую что LL^T = A.
2. Решим две системы линейных уравнений: Ly = b и L^Tx = y, используя методы прямой и обратной подстановки соответственно.
Тогда полученное решение x будет являться точным решением исходной системы Ax=b.


Другой пример использования разложения Холецкого связан с вычислением определителя матрицы А. Если мы знаем разложение Холецкого для матрицы А (A=LL^T), то её определитель можно выразить через квадратные элементы нижнетреугольной матрицы L: det(A) = det(L)².
Эта формула позволяет быстро вычислить значение определителя для больших симметрических матриц, поскольку разложение Холецкого может быть найдено эффективно с помощью алгоритмов численного анализа.

След матрицы

След матрицы A (обозначается как tr(A)) - это сумма элементов ее главной диагонали. Главная диагональ матрицы A состоит из элементов $$a_{11}, a_{22},...,a_{nn}.$$ Таким образом, след матрицы A можно записать следующим образом: $$ tr(A) = \sum\limits_{i=1}^n a_{ii} $$

Например, для квадратной матрицы порядка 3 $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a _{32}& {33} \end{pmatrix}$$ след будет вычисляться по формуле $$ tr(A) = а_{{11}}+а_{{22}}+а_{{33}} $$

Свойства следа:
1. След матрицы не зависит от способа перестановки её строк или столбцов. 2. Сумма следов двух или более матриц равна следу их суммы: $$tr(A+B)= tr(A)+tr(B).$$ 3. Если умножить каждый элемент одной из линейных комбинаций строк или столбцов на некоторое число $c$, то значение следа также умножится на этот множитель: $$tr(cA) = c \cdot tr(A).$$ 4. След произведения двух квадратных матриц A и B может быть вычислен по формуле: $$tr(AB) = tr(BA)$$.

След матрицы используется в различных областях математики, в том числе при решении систем линейных уравнений, нахождении собственных значений и векторов для матриц.

Перманент матрицы

Перманентом квадратной матрицы $A$ размера $n\times n$ называется сумма всех произведений элементов, взятых по одному из каждой строки и столбца этой матрицы.

Математический символ перманента обозначается как $$\operatorname{perm}(A)$$.

Формула для вычисления перманента:
$$\mathrm{perm}(A)=\sum _{\sigma \in S_n}{a}_{1,\sigma (1)}{a}_{2,\sigma (2)}...a_{n,\sigma (n)},$$ где
$S_n$ - множество всех перестановок чисел от 1 до $n$.
$a_{i,j}$ - элемент матрицы на позиции $(i,j)$.

Перманент матрицы используется в различных областях математики и ее приложений, таких как:

1. Теория графов: перманент связан с количеством замкнутых маршрутов в ориентированных графах.
2. Квантовая физика: перманент матрицы появляется при вычислении амплитуд вероятности для процесса рассеяния частиц на квадратной матрице рассеивания.
3. Сочетательная оптимизация: задачи комбинаторной оптимизации могут быть сформулированы через перманент, например, задача о назначениях.
4. Кодирование информации: техника кодирования под названием "контрольные суммы" основывается на вычислениях перманента.

Нормальная форма Смита

Нормальная форма Смита – это каноническая форма, в которую можно привести любую матрицу целых чисел путем элементарных преобразований строк и столбцов. В этой форме матрица выглядит как диагональная матрица, элементы на главной диагонали которой называются инвариантами Смита.

Для заданной матрицы $A$ размером $m\times n$ с целочисленными элементами её нормальную форму Смита можно записать следующим образом:

$$ \begin{pmatrix} d_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_2 & \cdots& 0 \\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ 0 & 0 &\cdots& d_r \\ 0& 0&\cdots& 0\\ \vdots&&&&\ddots\\ 0 & 00 &&&&&& \end{pmatrix}, $$ где $$r = rank(A)$$, а число $$d_i (i=1,\ldots,r)$$ удовлетворяет условиям: $$\forall i,j : i < j \Rightarrow d_i | d_j$$ $$\forall k : r+1 < k < n,d_k=0 $$

То есть все ненулевые числа расположены на главной диагонали по порядку возрастания их значений, при этом каждое следующее число является делителем предыдущего.

Для получения нормальной формы Смита для заданной матрицы $A$ необходимо выполнить следующие шаги: привести матрицу к треугольному виду с помощью метода Гаусса или Жордана, найти наибольший общий делитель каждой пары чисел в последовательности миноров матрицы, построить диагональную матрицу с найденными значениями НОД и выполнить элементарные преобразования строк и столбцов для того, чтобы привести эту матрицу к единичной форме.

Получение нормальной формы Смита является полезным инструментом при решении различных задач линейной алгебры, таких как вычисление определителя или обратной матрицы.

Характеристический многочлен матрицы

Характеристический многочлен матрицы - это полином, который вычисляется из элементов квадратной матрицы и используется для нахождения ее собственных значений. Характеристический многочлен является одним из основных понятий линейной алгебры и имеет широкое применение в различных областях математики, физики, техники и других наук.

Формально характеристический многочлен $p(\lambda )$ квадратной матрицы $A$ размерности $n\times n$ определяется следующим образом: $$ p(\lambda) = det(A - \lambda I), $$ где $I$ - единичная матрица размерности $n\times n$, а $det$ обозначает определитель. Таким образом, мы вычитаем от каждого элемента диагонали матрицы $A$ значение $\lambda$, умноженное на соответствующий элемент единичной матрицы, затем берем определитель получившейся $(n\times n)$-матрицы.

Корни этого многочлена называются собственными значениями данной матрицы. Если $$\lambda_1,\dots,\lambda_n$$ являются корнями характеристического многочлена, то для каждого собственного значения ${\lambda }_i$ можно найти соответствующий ему собственный вектор $v_i$, который удовлетворяет условию: $$ Av_i = \lambda_iv_i. $$

Собственные значения и собственные векторы матрицы имеют фундаментальное значение в линейной алгебре, так как они позволяют представить сложную систему линейных уравнений через более простые компоненты. Кроме того, характеристический многочлен находит широкое применение при решении различных задач дифференциальных уравнений и других областях науки.

Сложение, вычитание и умножение матриц

Сложение и вычитание матриц производятся покомпонентно, то есть каждый элемент одной матрицы складывается или вычитается из соответствующего элемента другой матрицы. Пусть даны две матрицы $A$ и $B$ размерности $m\times n$. Тогда определяются следующие операции:

1. Сложение: $$C = A + B,$$ где $$c_{ij} = a_{ij} + b_{ij},\quad i=1,\dots,m,\ j=1,\dots,n.$$ 2. Вычитание: $$C = A - B,$$ где $$c_{ij} = a_{ij} - b_{ij},\quad i=1,\dots,m,\ j=1,\dots,n.$$
3.Умножение матриц также выполняется по правилу покомпонентного умножения с последующим сложением полученных произведений. Для умножения двух матриц необходимо, чтобы число столбцов первой матрицы равнялось числу строк второй матрицы. Пусть даны две квадратные $(n\times n)$ -матрица $A$ и $B$, тогда определяются следующие операции: $$C = AB,$$ где $$ c_{i,j}= \sum^{n}_{k=1}{a_{i,k}\cdot b_{k,j}},\quad i,j=\overline{1,n}.$$ Также следует отметить, что умножение матриц не коммутативно, то есть в общем случае $$AB \neq BA$$.